domingo, 18 de diciembre de 2011
VÍDEO DE LA UNIDAD DIDÁCTICA ES ES EL LINK
http://youtu.be/uVMAld2izZg VÍDEO DE LA UNIDAD DIDÁCTICA ES ES EL LINK
aportes de sirila sobre las TIC.
Rincones tecnológicos: una propuesta de Tic para el nivel inicial Algunos términos básicos • TIC: Tecnologías de la Información y Comunicación. • Rincones: Son “espacios delimitados y concretos, situados en las propias clases, donde los niños y niñas trabajarán simultáneamente”. Rincón Tecnológico en el aula de Inicial: Un espacio con dos computadoras o más, dotadas de recursos y materiales educativos digitales, especializados para este nivel, lo que acompañado de un/una docente debidamente entrenado/a y preparado/a para integrar las TIC en su trabajo diario, propiciará en los niñas y niños el desarrollo de sus capacidades cognitivas, intelectuales, de lenguaje y motrices, contribuyendo así, con una educación integral y de calidad. Lo que busca el Proyecto Que las niñas y los niños puedan: • Desarrollar habilidades motoras y cognitivas propias de su edad usando las Tecnologías de Información y comunicación (TIC). • Explorar y utilizar TIC. • Adquirir un vocabulario técnico relacionado con las TIC. • Desarrollar una actitud de colaboración y trabajo en equipo. Algunos supuestos importantes El uso del computador en el aula de Educación Inicial refuerza, complementa o amplía los temas trabajados en las diferentes áreas. Resulta una herramienta muy atractiva para los niños/as Por ser un instrumento lúdico, en estas edades los niños/as no saben distinguir si están jugando o trabajando con el computador. Jueguen o trabajen, lo que sí es cierto es que aprenden. Algunas interrogantes… Como se puede integrar el computador en el aula del preescolar y hacer de el un elemento habitual • La experiencia desarrollada y mostradas en investigaciones, muestra que es posible integrar el computador en la clase en una organización por rincones sin demasiados problemas. Es preciso, sin embargo, hacer algunas salvedades: • Otra cuestión a tener cuenta se refiere a la simultaneidad de los rincones. Como señalan Figueras y Pujol (1992), los rincones de juego y trabajo no deberían realizarse al mismo tiempo. Las razones para ello son obvias: los segundos requieren concentración y silencio, mientras que los primeros buscan la socialización, la diversión, etc. Y resulta difícil compaginar ambos tipos de actividad. ¿Cuál es la forma acceder al rincón tecnológico? La organización del aula permite ir compaginando las diferentes maneras de acceder al rincón tecnológico: de manera individual, por parejas o en grupo. Individualmente refuerzan su autonomía, por parejas comparten conocimientos y deben ponerse de acuerdo para alternar el uso del teclado o del ratón, colectivamente podemos leer, mirar y comentar entre todos un tema que nos interese mucho. • La cantidad de tiempo que los profesores consideran que el uso por parte de los niños de los equipos es educativamente productivo ha aumentado significativamente.
programa de unidad didactica Sirila
La educación encierra un tesoro. Unesco. Paris: Díaz, Frida, Hernández, Universidad Autónoma de Santo Domingo. (UASD). CIENCIA DE LA EDUCACION DATOS GENERALES. Carrera: Licenciatura en educación básica Asignatura: Gestión Escolar Código: GE-284 Créditos: 04 Semestre: 1 Profesor: Sirila de Jesús Flores E-mail: siri1402@hotmail.com Tiempo: 4 Semanas de Docencia JUSTIFICACIÓN. En los últimos tiempos han surgido novedosos métodos y procedimientos para el aprendizaje y la enseñanza. Estas nuevas herramientas, tales como las telecomunicaciones y los sistemas informáticos, permiten desarrollar procesos de enseñanza-aprendizaje donde el tiempo, el espacio y los equipos no sean restricciones, por lo que se hace necesario incluir en ese documento guía de un centro como lo es el (PEC)esos métodos y procedimientos. OBJETIVO GENERAL. Analizar la realidad con apego a los principios de la ciencia para asesorar a la administración y todo el personal docente de la Escuelas en su faceta de colocación, capacitación, control, organización, necesario en su proceso de gestión. Y evaluación de proyecto de centro. UNIDAD I. CONCEPTO DE GESTION COMPONENTES Y PRINCIPIOS BASICOS Y OBJETIVOS MOTIVACIÓN. Es de vital importancia el aprovechamiento de esta asignatura vital para un desarrollo macro de los estudiantes de la Licenciatura en Educación, ya que la misma les da una visión más amplia y detallada a los profesionales, de la educación. Dicha asignatura juega un papel preponderante en la solución de los problemas de evaluación y gestión de proyectos educativos. ORIENTACIONES. En esta unidad se estudian los siguientes puntos: • Definición y evaluación de proyecto de centro. • Cuales participantes conforman la comunidad educativa. • Que entidades regulan la elaboración y evaluación de proyecto de centros. Orientación sobre los elementos y componentes de un proyecto de centro. OBJETIVOS. • Analizar los fundamentos teóricos de la gestión escolar y su aplicación a la gestión educativa Dominicana. • Favorecer la reflexión sobre un modelo participativo y eficiente. • Analizar las principales ordenanzas que regula la gestión de los centros educativos. Unidad: 1 CONTENIDO PROGRAMÁTICO. • Diferentes conceptos de gestión • Tipos de gestión. • Características, Componentes y Principios Básicos. Procedimental • Procedimientos para una eficiente gestión. • Gestión participativa: Importancia y estrategias. • Proceso de gestión de calidad: Diagnostico, Planificación, implementación y evaluación. Metodología • Rescate de sus experiencia de contexto • Discusiones grupales • Elaboración de reporte de lectura • Video, Foro • Debates • Plenaria • Inserción en el entorno, investigando en los centros educativos. • Socialización de los resultados investigados. Recursos - Libros de textos y documentos - Paleógrafos - Internet - Datas chop - Otros,… Actividades de aprendizaje - Entrega de informes - Ejercicios escritos - Sistematización de datos recogidos - Solución de intervención realizada. - Impacto de lo investigado - Proyectos elaborados. - - TAREA: - Entregar un ejemplar de proyecto de centro elaborado en equipo. EVALUACION Unidad II DEFINIR LAS HERRAMIENTAS PARA LA ELABORACION PARA EL PROYECTO DE CENTRO. PROPOSITOS: Conocer las herramientas que definen la elaboración de proyecto educativo de centro. CONTENIDO: - Proyecto de centro - Componentes del proyecto de centro. - Faces de la elaboración. - La planificación Unidad III PARTICIPACION DE LOS DIFERENTES ELEMENTOS DE LA GESTION PROPOSITOS: - Favorecer la participación de los docentes en el proceso de la elaboración y revisión de proyectos educativos. CONTENIDOS: - La comunidad educativa - Proceso de regulación - Relación escuela comunidad - Funciones del equipo directivo a lo externo e interno - Roles de los actores educativos - La gestión de cambio Unidad IV FUNCIONES, TAREAS Y CAPACIDADES DE LA GESTION PROPOSITOS: - Conocer de manera vivenciada las funciones, tareas y capacidades que debemos desarrollar para una gestión eficiente. CONTENIDOS: - Función: Misión, Visión del centro escolar. - Sistema de planificación estratégica - Sistema de acompañamiento pedagógico y control - Sistema de información permanente Unidad V CRITERIOS SOBRE SEGUIMIENTO Y EVALUACION DEL PROYECTO EDUCATIVO DE CENTRO. PROPOSITOS: - Ofrecer los criterios sobre seguimientos y evaluación del proyecto educativo de centro. CONTENIDOS: - Evaluación: concepto. - Criterios para la evaluación - Estrategias e instrumentos de seguimiento a la evaluación. - Elaboración del plan anual - Sistema de evaluación del proyecto educativo de centro (PEC) Bibliografía: Morrison Ramón historia de la educación. Santo Hernández,(1983) pasado ,presente, y perspectiva de la educación. Introducción a la ciencia de la educación Hernández Castillo Ángel(1987) editorial universitaria (UASD). Currículo en marcha; serie INNOVA 2000, Sto. Dgo, Gerardo(1998)
APORTE DE SIRILA SOBRE CORRIENTES FILOSOFICA SOBRE EDUCACION
A continuación les presento algunas Corrientes filosóficas y sus autores con sus concepcione Entre estos autores tenemos a John Ddewey, Paulo Freiré, Ovidio Decroly, Celestin Freinet, Maria Montesori, Juan Henrique Pestalozzi, Juan Jacobo Rosseu, Adolphe Ferriere Cousinet. John Dewey • Precursor de la Escuela Nueva del siglo XIX. • Proponía un alumno activo que pudiese trabajar dentro del aula sus propios intereses como persona y como alumno, según él la educación es un proceso social. • Se autodefine como sustentante del estructuralismo genético. • Es considerado el padre de este movimiento. • Fue un destacado representante de una de las tendencias del pragmatismo moderno, según el la educación es un proceso social a través del cual la sociedad transmite sus ideales, poderes y capacidades con el fin de asegurar su propia existencia y desarrollo • Dice que en la escuela como institución social se deben concentrar los medios que contribuyen que el niño aproveche los recursos que trae al nacer, que el alumno tenga una situación de experiencia directa • Proponía a un alumno activo que pudiese trabajar dentro del aula sus propios intereses como persona y como niño. • Rechazó los criterios de la educación tradicional • Acentuó el papel social que debe tener la escuela • Formar hombres para vivir dentro de su medio social, decía que la escuela no debe tener ni clases intensas, ni programas, ni horarios • Propugnaba la importancia de la educación laboral, del trabajo manual, de las actividades recreativas. • Su divisa era aprender haciendo. • Poner al alumno ante una situación que lo haga pensar • Consideró que solamente la enseñanza mediante efecto puede relacionar a los niños con la vida • Criticaba el papel del profesor y la falta de interactividad que ofrece a los alumnos. • Formó al hombre para vivir dentro de su medio social. Paulo Freire: • Destacó la enseñanza de la escritura y lectura especialmente a personas adultas y de escasos recursos económico. • Destaca una pedagogía liberadora • Planteó la finalidad de ayudar al educando como lo es el cambio de la estructura mental • La pedagogía estuvo basada en la oposición de la educación tradicional y bancaria • Se comprometió en formar hombres y mujeres que sean capaces de pensar, decía que nadie es esclavo de nadie y que todos tienen derecho a una buena educación sin excepción alguna. • Recomendó varias estrategias importantes para el logro de aprendizaje tanto para el maestro como tambien el alumno • Propone que el dialogo como método permite la comunicación entre los educandos y el educador. • Aportó la idea de que el papel que desempeña el educador en la educación liberadora es dialogar con el educando en franca amistad, así obtener los temas generadores y de interés. • Aportó con su lucha a favor de la libertad de toda índole. • Indagó contra todo tipo de injusticia • Buscó la libertad de los oprimidos. • Fundó una corriente pedagógica llamada escuela Nueva, es decir una escuela activa • Fue profesor de historia. • Alfabetizó a personas adultas • Fue profesor en la universidad de Harvard • Destacó en la labor educativa la manera de enseñar a escribir y leer y la transformación de las personas de la esclavitud y la explotacion. • Sugirió que el maestro debe manejar un método de enseñanza dentro del contexto de la practica educativa, debe tener imaginación, aprovechar situaciones, usar e inventar técnicas, crear y utilizar medios que propicien la actividad y el dialogo con los educando • Fue médico • Elaboró su método educativo con niños anormales • Perfeccionó con niños sin dificultades • Consideró que el proceso educativo debe subordinarse a la evolución de los intereses naturales del niño, por lo que debe ser educado en completa libertad, para que pueda manifestar las virtudes de su naturaleza • Fundó los centros de interés, su base es la del interés, la del verdadero interés, que suscita y estimula el esfuerzo y el trabajo • Su trabajo con los niños concedió una trascendental importancia a la observación. • Introduce los centros de interés como propuesta pedagógica, basada en el respeto por el niño y su personalidad, con el objetivo de preparar a los niños para vivir en libertad. • Se opuso a la disciplina rígida, apostado por crear un ambiente motivador con grupos homogéneos, basado en la globalización, la observación de la naturaleza y la escuela activa. • Fundó la escuela de Emitage, donde inició sus trabajos con niños normales • Destaca la importancia de familiarizar al niño con lo que les interesa sin obligarlo. • La escuela que fundó fue bajo el lema, para la vida. • Formuló la importancia de alimentar, proteger a los niños • Engendró proyectos de jardinería, cocina, maquetas, excursiones. • Utilizó el método de lectura e ideó el método natural. • Aportó en cuanto a la teoría de su sistema acción y pensamiento, su objetivo principal es que el niño piense haciendo y haga pensando. • Propugnó una escuela publica popular, una escuela para el pueblo, para la clase trabajadora persiguió una escuela que sirva a los intereses populares, que sea democrática y participativa • Decía que la verdadera educación debe surgir dentro de la escuela sin imposiciones externas • Luchó por una escuela renovada que sea crítica, libre y popular, donde el niño con sus necesidades, sus propuestas espontaneas, contribuye el núcleo del proceso educativo y la base de la educación popular. • Contribuyó a la educación en valores • Centró la educación democrática • Desarrolló los movimientos Freineliano. • Levantó una escuela con la ayuda de albañiles y jóvenes campesinos, siendo esta una escuela divorciada de la escuela tradicional • Afrontó los problemas de la pedagogía en esa época en su vida orientado al desarrollo. Para él el centro de proceso de enseñanza no es el maestro sino el alumno. • Aportó la idea de que las paredes y todos los rincones deben estar decorados con los dibujos y tapices • Su mayor contribución esta en la nueva visión que tuvo el niño de la sociedad y del trabajo, decía que estos aspectos no deben verse por separados sino que deben analizarse en conjunto para enseñar al niño a desarrollarse en la sociedad. • Se preocupó de la renovación del ambiente escolar y de las funciones de los maestros. • Fue el impulsor de un movimiento de renovación pedagógica. • Aportó la teoría de que la escuela debe ser una escuela viva, la continuación de la vida familiar, de la vida del pueblo y del medio. • Sugirió que el papel del profesor es de movilizar y facilitar la actividad natural del niño tanto física como intelectualmente. Situar al alumno en una posición activa ante el aprendizaje, que debe basarse a los intereses infantiles. • Elaboró materiales como etapa de trabajo, decía que el niño camina y habla y que se adapta a las condiciones exteriores • Contribuyó con un método pedagógico a partir de sus experiencias. • Fue maestro de la zona rural pedagógica popular • Utilizó el método natural o tanteo natural, experimental. • Estableció una relación concreta entre el quehacer de la escuela y el quehacer social, los intereses de los niños. • Fundo la teoría del trabajo cooperativo, con el cual buscaba solucionar los métodos. Trabajó con su esposa intensamente por el bienestar integral del niño. • Fue defensor del comunismo • Fue profesor de niños pobres. • Trabajo con niños con retardo menta y con niños normales • Fue educadora y medico • Descubrió una series de principios que trasladó a la educación de los niños. • Decía que no sólo se permite al niño ser espontaneo, sino que se alienta y estimula su espontaneidad • Aportó la teoría de que los intereses y necesidades intelectuales de los niños van surgiendo libremente, que la actividad des que se deben realizar normalmente en forma de juego. • Aportó con su método en la libertad de la acción-juego y actividades sensoriales • Se interesó en la búsqueda de medios que permitieran la recuperación e inserción social de niños menos dotados intelectualmente. • Se dedicó a los niños el resto de su vida. • Compró una pequeña hacienda llamada Nueva Patria. • Fundó una institución para pobres, en la cual reunió hasta 50 huérfanos y pobres • Su orfanato se mantuvo con la ganancia ganada por los mismos niños. • Hacia ensayos en su institución para combinar la educación de los niños con el trabajo productivo • Argumentó que el objetivo de la instrucción es lograr una intuición clara de lo verdadero, recto y bueno. Su método se basaba en la intuición y en el entretenimiento progresivo, desde lo fácil hasta lo difícil, desde lo simple hasta lo complejo. • Se entregó abnegadamente a la causa de la educación de los hijos de los pobres. • Fue un destacado teórico de la pedagogía de la burguesía. • Planteó que la igualdad se desarrollo como resultado de la civilización, propone, una sociedad ideal en la cual como estado mental los hombres eran iguales y libres • Expresó que el primero de los derechos de la naturaleza del hombre es la libertad es la libertad • Se manifestó en contra de la enseñanza escolatica con su rigidez, su disciplina severa, sus castigos corporales y la anulación de la personalidad del niño. • Este movimiento criticó la escuela tradicional • Proponía a un alumno activo que pudiese trabajar dentro y fuera del aula sus propios intereses. • Se comprometió con la alfabetización de los adultos. • Ofreció la realización personal. • Aportó la idea de que la escuela debe conducir al niño a que el se conduzca así mismo. • Destacó la importancia del método del trabajo libre y cooperado en los grupos de trabajo.
sábado, 17 de diciembre de 2011
Presentacion de la unidad de Julia Elena Rodriguez Bautista
Actualmente se hace continua referencia a la necesidad de la formación de un profesional capaz de pensar y actuar en correspondencia con los valores más genuinos de la sociedad, capaz de desarrollarse según los retos y tendencias que demanda el presente siglo, lo cual debe ponerse de manifiesto en las tareas y actividades que desarrollan para resolver los complejos problemas del mundo actual.
En tal sentido la Universidad no sólo ha de preparar a los estudiantes en términos de la teoría o propiamente del sistema de conocimientos de las más diversas asignaturas, sino que ha de tener en cuenta el reto que le plantea el avance de la propia ciencia desde la perspectiva del saber, saber hacer y el deber ser, lo cual ya es una premisa aceptada por todos.
Tal como se reclama, el énfasis fundamental debe estar en la asimilación de los modos de actuación necesarios para adquirir de forma independiente el conocimiento y en la manera de emplear los mismos en función del propio desarrollo humano.
La formación y desarrollo de competencias profesionales como objetivo de los procesos educativos, necesita, no sólo claridad en la conceptualización de las competencias que se desean desarrollar, sino también, conocer su estructura y los requerimientos para su formación y desarrollo en las diferentes áreas del saber, en este caso se trata de la auditoria interna integral.
El Instituto de Auditores Internos de los Estados Unidos (IIA) define la Auditoría Interna como "una actividad independiente que tiene lugar dentro de la empresa y que está encaminada a la revisión de operaciones contables y de otra naturaleza, con la finalidad de prestar un servicio a la dirección”.
La Auditoría Interna es una actividad independiente dentro de una organización publica o privada, que asesorar a la administración en la prevención de riesgos, ejecución de controles internos y aplicación de las políticas y procesos. Es una actividad, que proporciona valor agregado a las empresas y se realiza con apego a las Normas Internacionales de Auditoria y de Contabilidad.
En tal sentido la Universidad no sólo ha de preparar a los estudiantes en términos de la teoría o propiamente del sistema de conocimientos de las más diversas asignaturas, sino que ha de tener en cuenta el reto que le plantea el avance de la propia ciencia desde la perspectiva del saber, saber hacer y el deber ser, lo cual ya es una premisa aceptada por todos.
Tal como se reclama, el énfasis fundamental debe estar en la asimilación de los modos de actuación necesarios para adquirir de forma independiente el conocimiento y en la manera de emplear los mismos en función del propio desarrollo humano.
La formación y desarrollo de competencias profesionales como objetivo de los procesos educativos, necesita, no sólo claridad en la conceptualización de las competencias que se desean desarrollar, sino también, conocer su estructura y los requerimientos para su formación y desarrollo en las diferentes áreas del saber, en este caso se trata de la auditoria interna integral.
El Instituto de Auditores Internos de los Estados Unidos (IIA) define la Auditoría Interna como "una actividad independiente que tiene lugar dentro de la empresa y que está encaminada a la revisión de operaciones contables y de otra naturaleza, con la finalidad de prestar un servicio a la dirección”.
La Auditoría Interna es una actividad independiente dentro de una organización publica o privada, que asesorar a la administración en la prevención de riesgos, ejecución de controles internos y aplicación de las políticas y procesos. Es una actividad, que proporciona valor agregado a las empresas y se realiza con apego a las Normas Internacionales de Auditoria y de Contabilidad.
Unidad de matematica ecuaciones del primer grado por Wilden Ramirez Araujo
Universidad Autónoma de Santo Domingo. (UASD).
DECANATO ESCUELA DE GRADUADOS.
DATOS GENERALES.
Carrera: Maestría en Matemática
Asignatura: Lenguaje Conjuntitas
Código: Mat- 082
Créditos: 05
Modulo: 2ero.
Profesor: Wilden Ernesto Ramírez Araujo
E-mail: wilden49@hotmail.com
Tiempo: 4 Semanas de Docencia
ECUACIONES DE PRIMER GRADO
Ejes transversales
* Creatividad y desarrollo de talentos
* Ciencia y tecnología
Objetivos
* Resolver y verificar soluciones de ecuaciones de primer grado.
* Emplear el método gráfico para resolver ecuaciones de primer grado.
Contenidos
1) Ecuaciones de primer grado
2) Otras ecuaciones de primer grado.
3) Método grafico de resolución de ecuaciones.
4) Resolución de problemas con ecuaciones.
Estrategias
* El/a maestro/a realiza un diagnostico del tema a través de una práctica escrita.
* Los/as alumnos/as se juntan en grupos para realizar prácticas con clase sobre el tema.
Actividades
1) Determina por tanto las soluciones de las ecuaciones dadas. Resuelve las ecuaciones indicadas.
2) Obtén las soluciones de las ecuaciones lineales dadas.
3) Resuelve las ecuaciones dadas usando el método gráfico.
4) Resuelve cada problema planteado usando ecuaciones.
En matemáticas, una ecuación es una igualdadnota 1 entre dos expresiones algebraicas, denominadas miembros, en las que aparecen valores conocidos o datos, y desconocidos o incógnitas, relacionados mediante operaciones matemáticas. Los valores conocidos pueden ser números, coeficientes o constantes; y también variables cuya magnitud se haya establecido como resultado de otras operaciones. Las incógnitas, representadas generalmente por letras, constituyen los valores que se pretende hallar. Por ejemplo, en la ecuación:
la variable representa la incógnita, mientras que el coeficiente 3 y los números 1 y 9 son constantes conocidas. La igualdad planteada por una ecuación será cierta o falsa dependiendo de los valores numéricos que tomen ambos miembros; se puede afirmar entonces que una ecuación es una igualdad condicional, en la que solo ciertos valores de las variables la hacen cierta.
Se llama solución de una ecuación a cualquier valor individual de dichas variables que la satisfaga. Para el caso dado, la solución es:
Resolver una ecuación es encontrar su dominio solución, que es el conjunto de valores de las incógnitas para los cuales la igualdad se cumple. Todo problema matemático puede expresarse en forma de una o más ecuaciones; sin embargo no todas las ecuaciones tienen solución, ya que es posible que no exista ningún valor de la incógnita que haga cierta una igualdad dada. En ese caso, el conjunto de soluciones de la ecuación será vacío y decimos que la ecuación no es resoluble. De igual modo, puede tener un único valor, o varios, o incluso infinitos valores, siendo cada uno de ellos una solución particular de la ecuación. Si cualquier valor de la incógnita hace cumplir la igualdad (esto es, no existe ningún valor para el cual no se cumpla) la expresión se llama identidad
De manera más general, una ecuación tendrá la forma
Donde F, G son operadores y a, b pueden ser valores numéricos, variables o funciones (en este último caso tendremos una ecuación funcional). Por ejemplo, la ecuación
tiene por soluciones o raíces el conjunto infinito de valores
Uso de ecuaciones
La ciencia utiliza ecuaciones para enunciar de forma precisa leyes; estas ecuaciones expresan relaciones entre variables. Así, en física, la ecuación de la dinámica de Newton relaciona las variables fuerza F, aceleración a y masa m: F = ma. Los valores que son solución de la ecuación anterior cumplen al primera ley de la mecánica de Newton. Por ejemplo, si establecemos una masa m = 1 Kg y una aceleración a = 1 m/s, la única solución de la ecuación es F = 1 Kg•m/s = 1 Newton, que es el único valor para la fuerza permitida por la ley.
El campo de aplicación de las ecuaciones es inmenso, y por ello hay una gran cantidad de investigadores dedicados a su estudio.
Historia
Antigüedad
Ya en el siglo XVI aC. los egipcios resolvían problemas cotidianos que tenían que ver con la repartición de víveres, de cosechas y de materiales que eran equivalentes a resolver ecuaciones algebraicas simples de primer grado; como la notación algebraica no existía usaban un método iterativo aproximado llamado el "método de la falsa posición".
Los matemáticos chinos de principios de nuestra era escribieron el libro "El Arte del cálculo" en el que plantearon diversos métodos para resolver ecuaciones algebraicas de primero y segundo grado, así como sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas.
El matemático griego Diofanto de Alejandría publicó su Aritmética en el siglo III tratando las ecuaciones de primer y segundo grado; fue uno de los pioneros en utilizar símbolos para representar las ecuaciones. También planteó las ecuaciones con soluciones enteras, llamadas en su honor ecuaciones diofánticas.1
Siglos XV - XVI
Pasada la “edad oscura” medieval, el estudio de las ecuaciones algebraicas experimenta un gran impulso. En el siglo XV estaban a la orden del día los desafíos matemáticos públicos, con premios al vencedor; así, un desafío famoso enfrentó a dos matemáticos a resolver ecuaciones de tercer grado, el vencedor fue Niccolò Fontana Tartaglia, experto algebrista.
Sobre mediados del siglo XVI los matemáticos italianos Girolamo Cardano y Rafael Bombelli descubrieron que para poder resolver todas las ecuaciones de segundo, tercero y cuarto grado el uso de los números imaginarios era indispensable. Cardano, enemigo acérrimo de Tartaglia, también halló métodos de resolución de ecuaciones de cuarto grado.
En el mismo siglo el matemático francés René Descartes popularizó la notación algebraica moderna, en la cual las constantes están representadas por las primeras letras del alfabeto, a, b, c, … y las variables o incógnitas por las últimas, x, y, z. En esta época se enuncian problemas de ecuaciones que sólo han sido resueltos actualmente, algunos que sólo recientemente se han resuelto; entre ellos tenemos el último teorema de Fermat, uno de los teoremas más famosos de la matemática, que no fue demostrado hasta 1995 por Andrew Wiles y Richard Taylor.
Siglos XVII-XVIII
En el siglo XVII Newton y Leibniz publican los primeros métodos de resolución de las ecuaciones diferenciales que aparecen en los problemas de la dinámica. Probablemente el primer libro sobre estas ecuaciones fue “Sobre las construcciones de ecuaciones diferenciales de primer grado” de Gabriele Manfredi (1707). Durante el siglo XVIII matemáticos ilustres como Leonhard Euler, Daniel Bernoulli, Joseph Lagrange y Pierre Laplace publican resultados sobre ecuaciones diferenciales ordinarias y
Época moderna
A pesar de todos los esfuerzos de las épocas anteriores, las ecuaciones algebraicas de quinto grado y superiores se resistieron a ser resueltas; sólo se consiguió en casos particulares, pero no se encontraba una solución general. A principios del siglo XIX Niels Henrik Abel demostró que hay ecuaciones no resolubles; en particular mostró que no existe una fórmula general para resolver la ecuación de quinto grado; acto seguido Évariste Galois demostró, utilizando su teoría de grupos, que lo mismo puede afirmarse de toda ecuación de grado igual o superior a cinco.
Durante el siglo XIX las ciencias físicas utilizan en su formulación ecuaciones diferenciales en derivadas parciales y/o ecuaciones integrales, como es el caso de la electrodinámica de James Clerk Maxwell, la mecánica hamiltoniana o la mecánica de fluidos. El uso habitual de estas ecuaciones y de los métodos de solución lleva a la creación de una nueva especialidad, la Física Matemática.
Ya en el siglo XX la Física Matemática sigue ampliando su campo de acción; Schrödinger, Pauli y Dirac formulan ecuaciones diferenciales con funciones complejas para la mecánica cuántica. Einstein utiliza ecuaciones tensoriales para su Relatividad General. Las ecuaciones diferenciales tienen también un amplio campo de aplicación en teoría económica.
Debido a que la mayoría de ecuaciones que se presentan en la práctica son muy difíciles o incluso imposibles de resolver analíticamente, es habitual utilizar métodos numéricos para encontrar raíces aproximadas. El desarrollo de la informática posibilita actualmente resolver en tiempos razonables ecuaciones de miles e incluso millones de variables usando algoritmos numéricos.
Definición general
Dada una aplicación y un elemento b del conjunto B, resolver una ecuación consiste en encontrar todos los elementos que verifican la expresión: . Al elemento se le llama incógnita. Una solución de la ecuación es cualquier elemento que verifique .
El estudio de las ecuaciones depende de las características de los conjuntos y la aplicación; por ejemplo, en el caso de las ecuaciones diferenciales, los elementos del conjunto son funciones y la aplicación debe incluir alguna de las derivadas del argumento. En las ecuaciones matriciales, la incógnita es una matriz.
La definición que hemos dado incluye las ecuaciones de la forma , pues, si es un grupo basta con definir la aplicación y la ecuación se transforma en .
Conjunto de soluciones
Dada la ecuación , el conjunto de soluciones de la ecuación viene dado por , donde es la imagen inversa de . Si es el conjunto vacío, la ecuación no tiene solución. Hay otras dos posibilidades: puede tener un sólo elemento, en cuyo caso la ecuación tiene solución única; si tiene más de un elemento, todos ellos son soluciones de la ecuación.
En la teoría de ecuaciones diferenciales, no se trata sólo de averiguar la expresión explícita de las soluciones, sino determinar si una ecuación determinada tiene solución y esta es única. Otro caso en los que se investiga la existencia y unicidad de soluciones es en los sistemas de ecuaciones lineales.
Casos particulares
Una ecuación diofántica es aquella cuya solución sólo puede ser un número entero, es decir, en este caso . Una ecuación funcional es aquella en la que algunas de las constantes y variables que intervienen no son realmente números sino funciones; y si en la ecuación aparece algún operador diferencial se llama ecuación diferencial. Cuando es un cuerpo y f un polinomio, hablamos de ecuación algebraica.
En un sistema de ecuaciones lineales, el conjunto es un conjunto de vectores reales y la función es un operador lineal.
Existencia de soluciones
En muchos casos -por ejemplo en las ecuaciones diferenciales-, una de las cuestiones más importantes es determinar si existe alguna solución, es decir demostrar que el conjunto de soluciones no es el conjunto vacío. Uno de los métodos más corrientes para lograrlo consiste en aprovechar que el conjunto A tiene alguna topología. No es el único: en los sistemas de ecuaciones reales, se recurre a técnicas algebraicas para averiguar si el sistema tiene solución. No obstante, el álgebra parece que carece de recursos siquiera para asegurar la existencia de soluciones en las ecuaciones algebraicas: para asegurar que toda ecuación algebraica con coeficientes complejos tiene una solución hay que recurrir al análisis complejo y, por lo tanto, a la topología.
Tipos de ecuaciones
Las ecuaciones pueden clasificarse según el tipo de operaciones necesarias para definirlas y según el conjunto de números sobre el que se busca la solución. Entre los tipos más frecuentes están:
• Ecuaciones algebraicas
o Polinómicas o polinomiales
o De primer grado o lineales
o De segundo grado o cuadráticas
o Racionales, aquellas en las que uno o ambos miembros se expresan como un cociente de polinimios
o Trascendentes, cuando involucran funciones no polinómicas, como las trigonométricas, exponenciales, etc.
o Diofánticas o diofantinas
• Ecuaciones diferenciales
o Ordinarias
o En derivadas parciales
• Ecuaciones integrales
Ecuación polinómica
Una ecuación polinómica o polinomial es una igualdad entre dos polinomios. Por ejemplo:
Forma canónica
Realizando una misma serie de transformaciones en ambos miembros de una ecuación, puede conseguirse que uno de ellos se reduzca a cero. Si además se ordenan los términos según los exponentes a los que se encuentran elevadas las incógnitas, de mayor a menor, se obtiene una expresión denominada forma canónica de la ecuación. Frecuentemente suele estudiarse a las ecuaciones polinómicas a partir de su forma canónica, es decir aquella cuyo primer miembro es un polinomio y cuyo segundo miembro es cero.
En el ejemplo dado, sumando 2xy y restando 5 en ambos miembros, y luego ordenando, obtenemos:
Grado
Se denomina grado de una ecuación polinomial al mayor exponente al que se encuentran elevadas las incógnitas. Por ejemplo
Es una ecuación de tercer grado porque la variable x se encuentra elevada al cubo en el mayor de los casos.
Las ecuaciones polinómicas de grado n de una sola variable sobre los números reales o complejos, pueden resolverse por el método de los radicales cuando n < 5 (ya que en esos casos el grupo de Galois asociado a las raíces de la ecuación es soluble). La solución de la ecuación de segundo grado es conocida desde la antigüedad; las ecuaciones de tercer y cuarto grado se conocen desde los siglos XV y XVI, y usan el método de radicales. La solución de la ecuación de quinto grado no puede hacerse mediante el método de radicales, aunque puede escribirse en términos de la función theta de Jacobi.
Ecuación de primer grado
Se dice que una ecuación polinomial es de primer grado cuando la variable (aquí representada por la letra x) no está elevada a ninguna potencia, es decir que su exponente es 1.
Las ecuaciones de primer grado tienen la forma canónica:
con a diferente de cero.
Su solución es sencilla:
Resolución de ecuaciones de primer grado
Las ecuaciones polinómicas de primer grado se resuelven en tres pasos: transposición, simplificación y despeje, desarrollados a continuación mediante un ejemplo.
Dada la ecuación:
Transposición
Primero se agrupan todos los monomios que incluyen la incógnita x en uno de los miembros de la ecuación, normalmente en el izquierdo; y todos los términos independientes (los que no tienen x) en el otro miembro. Podemos hacerlo teniendo en cuenta que:
Si sumamos o restamos un mismo monomio en los dos miembros, la igualdad no varía.
En términos coloquiales, decimos: si un término está sumando (como 16x en el miembro de la derecha) pasa al otro lado restando (−16x a la izquierda); y si está restando (como el −9 de la izquierda), pasa al otro lado sumando (+9 a la derecha)
La ecuación quedará entonces así:
Como puede verse, todos los términos que poseen la variable x han quedado en el primer miembro (a la izquierda del signo igual), y los que no la poseen, por ser sólo constantes numéricas, han quedado a la derecha.
] Simplificación
El siguiente paso es convertir la ecuación en otra equivalente más simple y corta.
Realizamos la simplificación del primer miembro:
Y simplificamos el segundo miembro:
La ecuación simplificada será:
Despeje
Ahora es cuando llegamos al objetivo final: que la incógnita quede aislada en un miembro de la igualdad. Para lo cual recordamos que:
Si multiplicamos o dividimos ambos miembros por un mismo número, la igualdad no varía.
En términos coloquiales: Para despejar la x, si un número la está multiplicando (Ej: 5x) se lo pasa al otro lado dividiendo (n/5) sin cambiar su signo. Y si un número la está dividiendo (Ej: x/2), entonces se lo pasa al otro lado multiplicando (n×2) sin cambiar su signo.
Lo que estamos haciendo en realidad es dividiendo ambos términos entre 5. Por lo tanto, el término que está multiplicado por 5, al dividirse entre 5 se anulan uno con el otro, desaparece multiplicando, mientras que en el otro lado vemos como dividimos entre 5 y el 5 permanece, aparece dividiendo, como si hubiera pasado de un lado a otro con una operación simétrica. Esta explicación con operaciones simétricas causa muchas confusiones a muchos estudiantes que pueden tener problemas para hallar la operación simétrica, por ejemplo no es evidente que 3x = y pueda despejarse por x = log3y. Por eso es importante recordar el principio fundamental por el que siempre que apliquemos una función inyectiva a ambos lados de una igualdad obtendremos otra igualdad.
En la ecuación debemos entonces pasar el número 95 al otro miembro y, como estaba multiplicando, lo hará dividiendo, sin cambiar de signo:
El ejercicio está teóricamente resuelto, ya que tenemos una igualdad en la que x equivale al número 525/95. Sin embargo, debemos simplificar.
Resolvemos la fracción (numerador dividido entre denominador) en caso de que el resultado diera exacto; si diera decimal, simplificamos la fracción y ése es el resultado.
En la ecuación, vemos que el resultado de la fracción es decimal (525:95 = 5,5263157894737)
Por tanto, simplificando, la solución es:
Ejemplo de problema
Pongamos el siguiente problema: el número de canicas que tengo, más tres, es igual al doble de las canicas que tengo, menos dos. ¿Cuántas canicas tengo? El primer paso para resolver este problema es expresar el enunciado como una ecuación:
Donde x es la incógnita: ¿cuántas canicas tengo?
La ecuación se podría leer así: El número de canicas que tengo, más tres que me dan, es igual al doble de mis canicas, quitándome dos.
El enunciado está expresado, pero no podemos ver claramente cuál es el valor de x; para ello se sigue este procedimiento: Primero se pasan todos los términos que dependen de x al primer miembro y los términos independientes al segundo. Para ello tenemos en cuenta que cualquier término que se cambia de miembro cambia también de signo. Así obtenemos:
Que, simplificado, resulta:
Esta expresión nos lleva a una regla muy importante del álgebra, que dice que si modificamos igualmente ambos miembros de una ecuación, el resultado es el mismo. Esto significa que podemos sumar, restar, multiplicar, dividir, elevar y radicar los dos miembros de la ecuación por el mismo número, sin que ésta sufra cambios. En este caso, si multiplicamos ambos miembros por -1 obtendremos:
El problema está resuelto.
Ecuación de segundo grado
Las ecuaciones polinómicas de segundo grado tienen la forma canónica
Donde a es el coeficiente del término cuadrático (aquel en que la incógnita está elevada a la potencia 2), b es el coeficiente del término lineal (el que tiene la incógnita sin exponentes, o sea que está elevada a la potencia 1), y c es el término independiente (el que no depende de la variable, o sea que está compuesto sólo por constantes o números) Todas las ecuaciones de segundo grado tienen dos soluciones, las cuales pueden coincidir. Cuando esta ecuación se plantea sobre siempre se tienen dos soluciones:
Obviamente la condición para que la ecuación tenga solución sobre los números reales se requiere que y para que tenga soluciones sobre los números racionales se requiere .
Operaciones admisibles en una ecuación
Frecuentemente en el tratamiento de ecuaciones con números reales o complejos es necesario simplificar, reagrupar o cambiar de forma la ecuación para poder resolverla más fácilmente. Se conoce que bajo ciertas operaciones el se mantiene la igualdad y el conjunto de soluciones no cambia aunque la forma de la ecuación sea diferente. Entre las operaciones de álgebra elemental que no alteran el conjunto de soluciones están están:
1. Sumar cualquier número a ambos lados de la ecuación.
2. Restar cualquier número a ambos lados de la ecuación.
3. Dividir entre un número real diferente de cero ambos lados de la ecuación.
4. Multiplicar por cualquier número ambos lados de la ecuación.
5. Si f inyectiva se puede aplicar a cada uno de los dos miembros de la ecuación.
Otras dos operaciones respetan la igualdad pero pueden alterar el conjunto de soluciones:
1. Simplificar dividiendo factores comunes presentes en ambos lados de una ecuación. Si estos factores contienen no sólo números sino también variables esta operación debe aplicarse con cuidado porque el conjunto de soluciones puede verse reducido. Por ejemplo, la ecuación y•x = x tiene dos soluciones: y = 1 y x = 0. Si se dividen ambos lados entre "x" para simplificarla se obtiene la ecuación y = 1, pero la segunda solución se ha perdido.
2. Si se aplica una función no inyectaba a ambos lados de una ecuación, la ecuación resultante puede no tener un conjunto de soluciones más grande que la original.
Tipos de ecuación algebraica
Una ecuación algebraica en x contiene solo expresiones algebraicas, como polinomios, expresiones racionales, radicales y otras. Una ecuación de este tipo se llama ecuación condicional si hay números en los dominios de las expresiones que no sean soluciones; por ejemplo, x^2= 9 es condicional porque el número x=4 (y otros) no es una solución. Si todo número de los dominios de las expresiones de una ecuación algebraica es una solución, la ecuación se llama identidad.
Tema XXVI: Determina la solución de las siguientes ecuaciones de primer grado.
• 2x + 20 = 40
• X + 8 = 10
• X – 10 = 30
• 2x = 15
• X = 12
10
Tema XXVII: Realiza las siguientes ecuaciones fraccionarias.
1). X + 1 = X – 2
2 3
2). 2x – 5 = 2x + 9
10 6
Tema XXVIII: Resuelve las siguientes ecuaciones multiplicativas.
• 2(x + 3) = 5(x – 3)
• 4(x + 8) = 2(x + 4)
• 5(2x + 4) = 3(4x + 7)
• 3(2x – 12) = 8(3x – 10)
Tema XXIX: Resuelve la siguiente ecuación por el método grafico.
X - 2 - 1 0 1 2 3
Y
Y = X + 3
Tema XXX: Grafica.
X - 2 - 1 0 1 2
Y
Y = 2X + 2
Tema XVI: Resuelve las siguientes ecuaciones por formula general.
1). X2 + 5x + 10 = 0
X1,2 = - b ± √ b2 - 4ac
2a
2). 3x2 – 3x – 6 = 0
3). 8x2 + 2x – 3 = 0
4). 4x2 + 2x – 8 = 0
5). X2 + 5x + 6 = 0
Tema XVII: Calcula el determinante de.
∆ = b2 – 4ac
1). X – 14x + 49 = 0
2). 3x + 12x + 10 = 0
3). 6x + 15x – 10 = 0
4). 5x + 18x + 20 = 0
5). 2x + 3x – 12 = 0
Tema XVIII: Resuelve las siguientes ecuaciones cuadráticas por el método de factorización.
1. x2 + 3x – 18 = 0
2. x2 – 5x + 6 = 0
3. x2 + x – 20 = 0
4. x2 + 18x + 80 = 0
5. x2 + 6x + 9 = 0
Ejes transversales
* Creatividad y desarrollo de talentos
* Ciencia y tecnología
Objetivos
* Resolver y verificar soluciones de ecuaciones de primer grado.
* Emplear el método gráfico para resolver ecuaciones de primer grado.
Contenidos
1) Ecuaciones de primer grado
2) Otras ecuaciones de primer grado.
3) Método grafico de resolución de ecuaciones.
4) Resolución de problemas con ecuaciones.
Estrategias
* El/a maestro/a realiza un diagnostico del tema a través de una práctica escrita.
* Los/as alumnos/as se juntan en grupos para realizar prácticas con clase sobre el tema.
Actividades
1) Determina por tanto las soluciones de las ecuaciones dadas. Resuelve las ecuaciones indicadas.
2) Obtén las soluciones de las ecuaciones lineales dadas.
3) Resuelve las ecuaciones dadas usando el método gráfico.
4) Resuelve cada problema planteado usando ecuaciones.
En matemáticas, una ecuación es una igualdadnota 1 entre dos expresiones algebraicas, denominadas miembros, en las que aparecen valores conocidos o datos, y desconocidos o incógnitas, relacionados mediante operaciones matemáticas. Los valores conocidos pueden ser números, coeficientes o constantes; y también variables cuya magnitud se haya establecido como resultado de otras operaciones. Las incógnitas, representadas generalmente por letras, constituyen los valores que se pretende hallar. Por ejemplo, en la ecuación:
la variable representa la incógnita, mientras que el coeficiente 3 y los números 1 y 9 son constantes conocidas. La igualdad planteada por una ecuación será cierta o falsa dependiendo de los valores numéricos que tomen ambos miembros; se puede afirmar entonces que una ecuación es una igualdad condicional, en la que solo ciertos valores de las variables la hacen cierta.
Se llama solución de una ecuación a cualquier valor individual de dichas variables que la satisfaga. Para el caso dado, la solución es:
Resolver una ecuación es encontrar su dominio solución, que es el conjunto de valores de las incógnitas para los cuales la igualdad se cumple. Todo problema matemático puede expresarse en forma de una o más ecuaciones; sin embargo no todas las ecuaciones tienen solución, ya que es posible que no exista ningún valor de la incógnita que haga cierta una igualdad dada. En ese caso, el conjunto de soluciones de la ecuación será vacío y decimos que la ecuación no es resoluble. De igual modo, puede tener un único valor, o varios, o incluso infinitos valores, siendo cada uno de ellos una solución particular de la ecuación. Si cualquier valor de la incógnita hace cumplir la igualdad (esto es, no existe ningún valor para el cual no se cumpla) la expresión se llama identidad
De manera más general, una ecuación tendrá la forma
Donde F, G son operadores y a, b pueden ser valores numéricos, variables o funciones (en este último caso tendremos una ecuación funcional). Por ejemplo, la ecuación
tiene por soluciones o raíces el conjunto infinito de valores
Uso de ecuaciones
La ciencia utiliza ecuaciones para enunciar de forma precisa leyes; estas ecuaciones expresan relaciones entre variables. Así, en física, la ecuación de la dinámica de Newton relaciona las variables fuerza F, aceleración a y masa m: F = ma. Los valores que son solución de la ecuación anterior cumplen al primera ley de la mecánica de Newton. Por ejemplo, si establecemos una masa m = 1 Kg y una aceleración a = 1 m/s, la única solución de la ecuación es F = 1 Kg•m/s = 1 Newton, que es el único valor para la fuerza permitida por la ley.
El campo de aplicación de las ecuaciones es inmenso, y por ello hay una gran cantidad de investigadores dedicados a su estudio.
Historia
Antigüedad
Ya en el siglo XVI aC. los egipcios resolvían problemas cotidianos que tenían que ver con la repartición de víveres, de cosechas y de materiales que eran equivalentes a resolver ecuaciones algebraicas simples de primer grado; como la notación algebraica no existía usaban un método iterativo aproximado llamado el "método de la falsa posición".
Los matemáticos chinos de principios de nuestra era escribieron el libro "El Arte del cálculo" en el que plantearon diversos métodos para resolver ecuaciones algebraicas de primero y segundo grado, así como sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas.
El matemático griego Diofanto de Alejandría publicó su Aritmética en el siglo III tratando las ecuaciones de primer y segundo grado; fue uno de los pioneros en utilizar símbolos para representar las ecuaciones. También planteó las ecuaciones con soluciones enteras, llamadas en su honor ecuaciones diofánticas.1
Siglos XV - XVI
Pasada la “edad oscura” medieval, el estudio de las ecuaciones algebraicas experimenta un gran impulso. En el siglo XV estaban a la orden del día los desafíos matemáticos públicos, con premios al vencedor; así, un desafío famoso enfrentó a dos matemáticos a resolver ecuaciones de tercer grado, el vencedor fue Niccolò Fontana Tartaglia, experto algebrista.
Sobre mediados del siglo XVI los matemáticos italianos Girolamo Cardano y Rafael Bombelli descubrieron que para poder resolver todas las ecuaciones de segundo, tercero y cuarto grado el uso de los números imaginarios era indispensable. Cardano, enemigo acérrimo de Tartaglia, también halló métodos de resolución de ecuaciones de cuarto grado.
En el mismo siglo el matemático francés René Descartes popularizó la notación algebraica moderna, en la cual las constantes están representadas por las primeras letras del alfabeto, a, b, c, … y las variables o incógnitas por las últimas, x, y, z. En esta época se enuncian problemas de ecuaciones que sólo han sido resueltos actualmente, algunos que sólo recientemente se han resuelto; entre ellos tenemos el último teorema de Fermat, uno de los teoremas más famosos de la matemática, que no fue demostrado hasta 1995 por Andrew Wiles y Richard Taylor.
Siglos XVII-XVIII
En el siglo XVII Newton y Leibniz publican los primeros métodos de resolución de las ecuaciones diferenciales que aparecen en los problemas de la dinámica. Probablemente el primer libro sobre estas ecuaciones fue “Sobre las construcciones de ecuaciones diferenciales de primer grado” de Gabriele Manfredi (1707). Durante el siglo XVIII matemáticos ilustres como Leonhard Euler, Daniel Bernoulli, Joseph Lagrange y Pierre Laplace publican resultados sobre ecuaciones diferenciales ordinarias y
Época moderna
A pesar de todos los esfuerzos de las épocas anteriores, las ecuaciones algebraicas de quinto grado y superiores se resistieron a ser resueltas; sólo se consiguió en casos particulares, pero no se encontraba una solución general. A principios del siglo XIX Niels Henrik Abel demostró que hay ecuaciones no resolubles; en particular mostró que no existe una fórmula general para resolver la ecuación de quinto grado; acto seguido Évariste Galois demostró, utilizando su teoría de grupos, que lo mismo puede afirmarse de toda ecuación de grado igual o superior a cinco.
Durante el siglo XIX las ciencias físicas utilizan en su formulación ecuaciones diferenciales en derivadas parciales y/o ecuaciones integrales, como es el caso de la electrodinámica de James Clerk Maxwell, la mecánica hamiltoniana o la mecánica de fluidos. El uso habitual de estas ecuaciones y de los métodos de solución lleva a la creación de una nueva especialidad, la Física Matemática.
Ya en el siglo XX la Física Matemática sigue ampliando su campo de acción; Schrödinger, Pauli y Dirac formulan ecuaciones diferenciales con funciones complejas para la mecánica cuántica. Einstein utiliza ecuaciones tensoriales para su Relatividad General. Las ecuaciones diferenciales tienen también un amplio campo de aplicación en teoría económica.
Debido a que la mayoría de ecuaciones que se presentan en la práctica son muy difíciles o incluso imposibles de resolver analíticamente, es habitual utilizar métodos numéricos para encontrar raíces aproximadas. El desarrollo de la informática posibilita actualmente resolver en tiempos razonables ecuaciones de miles e incluso millones de variables usando algoritmos numéricos.
Definición general
Dada una aplicación y un elemento b del conjunto B, resolver una ecuación consiste en encontrar todos los elementos que verifican la expresión: . Al elemento se le llama incógnita. Una solución de la ecuación es cualquier elemento que verifique .
El estudio de las ecuaciones depende de las características de los conjuntos y la aplicación; por ejemplo, en el caso de las ecuaciones diferenciales, los elementos del conjunto son funciones y la aplicación debe incluir alguna de las derivadas del argumento. En las ecuaciones matriciales, la incógnita es una matriz.
La definición que hemos dado incluye las ecuaciones de la forma , pues, si es un grupo basta con definir la aplicación y la ecuación se transforma en .
Conjunto de soluciones
Dada la ecuación , el conjunto de soluciones de la ecuación viene dado por , donde es la imagen inversa de . Si es el conjunto vacío, la ecuación no tiene solución. Hay otras dos posibilidades: puede tener un sólo elemento, en cuyo caso la ecuación tiene solución única; si tiene más de un elemento, todos ellos son soluciones de la ecuación.
En la teoría de ecuaciones diferenciales, no se trata sólo de averiguar la expresión explícita de las soluciones, sino determinar si una ecuación determinada tiene solución y esta es única. Otro caso en los que se investiga la existencia y unicidad de soluciones es en los sistemas de ecuaciones lineales.
Casos particulares
Una ecuación diofántica es aquella cuya solución sólo puede ser un número entero, es decir, en este caso . Una ecuación funcional es aquella en la que algunas de las constantes y variables que intervienen no son realmente números sino funciones; y si en la ecuación aparece algún operador diferencial se llama ecuación diferencial. Cuando es un cuerpo y f un polinomio, hablamos de ecuación algebraica.
En un sistema de ecuaciones lineales, el conjunto es un conjunto de vectores reales y la función es un operador lineal.
Existencia de soluciones
En muchos casos -por ejemplo en las ecuaciones diferenciales-, una de las cuestiones más importantes es determinar si existe alguna solución, es decir demostrar que el conjunto de soluciones no es el conjunto vacío. Uno de los métodos más corrientes para lograrlo consiste en aprovechar que el conjunto A tiene alguna topología. No es el único: en los sistemas de ecuaciones reales, se recurre a técnicas algebraicas para averiguar si el sistema tiene solución. No obstante, el álgebra parece que carece de recursos siquiera para asegurar la existencia de soluciones en las ecuaciones algebraicas: para asegurar que toda ecuación algebraica con coeficientes complejos tiene una solución hay que recurrir al análisis complejo y, por lo tanto, a la topología.
Tipos de ecuaciones
Las ecuaciones pueden clasificarse según el tipo de operaciones necesarias para definirlas y según el conjunto de números sobre el que se busca la solución. Entre los tipos más frecuentes están:
• Ecuaciones algebraicas
o Polinómicas o polinomiales
o De primer grado o lineales
o De segundo grado o cuadráticas
o Racionales, aquellas en las que uno o ambos miembros se expresan como un cociente de polinimios
o Trascendentes, cuando involucran funciones no polinómicas, como las trigonométricas, exponenciales, etc.
o Diofánticas o diofantinas
• Ecuaciones diferenciales
o Ordinarias
o En derivadas parciales
• Ecuaciones integrales
Ecuación polinómica
Una ecuación polinómica o polinomial es una igualdad entre dos polinomios. Por ejemplo:
Forma canónica
Realizando una misma serie de transformaciones en ambos miembros de una ecuación, puede conseguirse que uno de ellos se reduzca a cero. Si además se ordenan los términos según los exponentes a los que se encuentran elevadas las incógnitas, de mayor a menor, se obtiene una expresión denominada forma canónica de la ecuación. Frecuentemente suele estudiarse a las ecuaciones polinómicas a partir de su forma canónica, es decir aquella cuyo primer miembro es un polinomio y cuyo segundo miembro es cero.
En el ejemplo dado, sumando 2xy y restando 5 en ambos miembros, y luego ordenando, obtenemos:
Grado
Se denomina grado de una ecuación polinomial al mayor exponente al que se encuentran elevadas las incógnitas. Por ejemplo
Es una ecuación de tercer grado porque la variable x se encuentra elevada al cubo en el mayor de los casos.
Las ecuaciones polinómicas de grado n de una sola variable sobre los números reales o complejos, pueden resolverse por el método de los radicales cuando n < 5 (ya que en esos casos el grupo de Galois asociado a las raíces de la ecuación es soluble). La solución de la ecuación de segundo grado es conocida desde la antigüedad; las ecuaciones de tercer y cuarto grado se conocen desde los siglos XV y XVI, y usan el método de radicales. La solución de la ecuación de quinto grado no puede hacerse mediante el método de radicales, aunque puede escribirse en términos de la función theta de Jacobi.
Ecuación de primer grado
Se dice que una ecuación polinomial es de primer grado cuando la variable (aquí representada por la letra x) no está elevada a ninguna potencia, es decir que su exponente es 1.
Las ecuaciones de primer grado tienen la forma canónica:
con a diferente de cero.
Su solución es sencilla:
Resolución de ecuaciones de primer grado
Las ecuaciones polinómicas de primer grado se resuelven en tres pasos: transposición, simplificación y despeje, desarrollados a continuación mediante un ejemplo.
Dada la ecuación:
Transposición
Primero se agrupan todos los monomios que incluyen la incógnita x en uno de los miembros de la ecuación, normalmente en el izquierdo; y todos los términos independientes (los que no tienen x) en el otro miembro. Podemos hacerlo teniendo en cuenta que:
Si sumamos o restamos un mismo monomio en los dos miembros, la igualdad no varía.
En términos coloquiales, decimos: si un término está sumando (como 16x en el miembro de la derecha) pasa al otro lado restando (−16x a la izquierda); y si está restando (como el −9 de la izquierda), pasa al otro lado sumando (+9 a la derecha)
La ecuación quedará entonces así:
Como puede verse, todos los términos que poseen la variable x han quedado en el primer miembro (a la izquierda del signo igual), y los que no la poseen, por ser sólo constantes numéricas, han quedado a la derecha.
] Simplificación
El siguiente paso es convertir la ecuación en otra equivalente más simple y corta.
Realizamos la simplificación del primer miembro:
Y simplificamos el segundo miembro:
La ecuación simplificada será:
Despeje
Ahora es cuando llegamos al objetivo final: que la incógnita quede aislada en un miembro de la igualdad. Para lo cual recordamos que:
Si multiplicamos o dividimos ambos miembros por un mismo número, la igualdad no varía.
En términos coloquiales: Para despejar la x, si un número la está multiplicando (Ej: 5x) se lo pasa al otro lado dividiendo (n/5) sin cambiar su signo. Y si un número la está dividiendo (Ej: x/2), entonces se lo pasa al otro lado multiplicando (n×2) sin cambiar su signo.
Lo que estamos haciendo en realidad es dividiendo ambos términos entre 5. Por lo tanto, el término que está multiplicado por 5, al dividirse entre 5 se anulan uno con el otro, desaparece multiplicando, mientras que en el otro lado vemos como dividimos entre 5 y el 5 permanece, aparece dividiendo, como si hubiera pasado de un lado a otro con una operación simétrica. Esta explicación con operaciones simétricas causa muchas confusiones a muchos estudiantes que pueden tener problemas para hallar la operación simétrica, por ejemplo no es evidente que 3x = y pueda despejarse por x = log3y. Por eso es importante recordar el principio fundamental por el que siempre que apliquemos una función inyectiva a ambos lados de una igualdad obtendremos otra igualdad.
En la ecuación debemos entonces pasar el número 95 al otro miembro y, como estaba multiplicando, lo hará dividiendo, sin cambiar de signo:
El ejercicio está teóricamente resuelto, ya que tenemos una igualdad en la que x equivale al número 525/95. Sin embargo, debemos simplificar.
Resolvemos la fracción (numerador dividido entre denominador) en caso de que el resultado diera exacto; si diera decimal, simplificamos la fracción y ése es el resultado.
En la ecuación, vemos que el resultado de la fracción es decimal (525:95 = 5,5263157894737)
Por tanto, simplificando, la solución es:
Ejemplo de problema
Pongamos el siguiente problema: el número de canicas que tengo, más tres, es igual al doble de las canicas que tengo, menos dos. ¿Cuántas canicas tengo? El primer paso para resolver este problema es expresar el enunciado como una ecuación:
Donde x es la incógnita: ¿cuántas canicas tengo?
La ecuación se podría leer así: El número de canicas que tengo, más tres que me dan, es igual al doble de mis canicas, quitándome dos.
El enunciado está expresado, pero no podemos ver claramente cuál es el valor de x; para ello se sigue este procedimiento: Primero se pasan todos los términos que dependen de x al primer miembro y los términos independientes al segundo. Para ello tenemos en cuenta que cualquier término que se cambia de miembro cambia también de signo. Así obtenemos:
Que, simplificado, resulta:
Esta expresión nos lleva a una regla muy importante del álgebra, que dice que si modificamos igualmente ambos miembros de una ecuación, el resultado es el mismo. Esto significa que podemos sumar, restar, multiplicar, dividir, elevar y radicar los dos miembros de la ecuación por el mismo número, sin que ésta sufra cambios. En este caso, si multiplicamos ambos miembros por -1 obtendremos:
El problema está resuelto.
Ecuación de segundo grado
Las ecuaciones polinómicas de segundo grado tienen la forma canónica
Donde a es el coeficiente del término cuadrático (aquel en que la incógnita está elevada a la potencia 2), b es el coeficiente del término lineal (el que tiene la incógnita sin exponentes, o sea que está elevada a la potencia 1), y c es el término independiente (el que no depende de la variable, o sea que está compuesto sólo por constantes o números) Todas las ecuaciones de segundo grado tienen dos soluciones, las cuales pueden coincidir. Cuando esta ecuación se plantea sobre siempre se tienen dos soluciones:
Obviamente la condición para que la ecuación tenga solución sobre los números reales se requiere que y para que tenga soluciones sobre los números racionales se requiere .
Operaciones admisibles en una ecuación
Frecuentemente en el tratamiento de ecuaciones con números reales o complejos es necesario simplificar, reagrupar o cambiar de forma la ecuación para poder resolverla más fácilmente. Se conoce que bajo ciertas operaciones el se mantiene la igualdad y el conjunto de soluciones no cambia aunque la forma de la ecuación sea diferente. Entre las operaciones de álgebra elemental que no alteran el conjunto de soluciones están están:
1. Sumar cualquier número a ambos lados de la ecuación.
2. Restar cualquier número a ambos lados de la ecuación.
3. Dividir entre un número real diferente de cero ambos lados de la ecuación.
4. Multiplicar por cualquier número ambos lados de la ecuación.
5. Si f inyectiva se puede aplicar a cada uno de los dos miembros de la ecuación.
Otras dos operaciones respetan la igualdad pero pueden alterar el conjunto de soluciones:
1. Simplificar dividiendo factores comunes presentes en ambos lados de una ecuación. Si estos factores contienen no sólo números sino también variables esta operación debe aplicarse con cuidado porque el conjunto de soluciones puede verse reducido. Por ejemplo, la ecuación y•x = x tiene dos soluciones: y = 1 y x = 0. Si se dividen ambos lados entre "x" para simplificarla se obtiene la ecuación y = 1, pero la segunda solución se ha perdido.
2. Si se aplica una función no inyectaba a ambos lados de una ecuación, la ecuación resultante puede no tener un conjunto de soluciones más grande que la original.
Tipos de ecuación algebraica
Una ecuación algebraica en x contiene solo expresiones algebraicas, como polinomios, expresiones racionales, radicales y otras. Una ecuación de este tipo se llama ecuación condicional si hay números en los dominios de las expresiones que no sean soluciones; por ejemplo, x^2= 9 es condicional porque el número x=4 (y otros) no es una solución. Si todo número de los dominios de las expresiones de una ecuación algebraica es una solución, la ecuación se llama identidad.
Tema XXVI: Determina la solución de las siguientes ecuaciones de primer grado.
• 2x + 20 = 40
• X + 8 = 10
• X – 10 = 30
• 2x = 15
• X = 12
10
Tema XXVII: Realiza las siguientes ecuaciones fraccionarias.
1). X + 1 = X – 2
2 3
2). 2x – 5 = 2x + 9
10 6
Tema XXVIII: Resuelve las siguientes ecuaciones multiplicativas.
• 2(x + 3) = 5(x – 3)
• 4(x + 8) = 2(x + 4)
• 5(2x + 4) = 3(4x + 7)
• 3(2x – 12) = 8(3x – 10)
Tema XXIX: Resuelve la siguiente ecuación por el método grafico.
X - 2 - 1 0 1 2 3
Y
Y = X + 3
Tema XXX: Grafica.
X - 2 - 1 0 1 2
Y
Y = 2X + 2
Tema XVI: Resuelve las siguientes ecuaciones por formula general.
1). X2 + 5x + 10 = 0
X1,2 = - b ± √ b2 - 4ac
2a
2). 3x2 – 3x – 6 = 0
3). 8x2 + 2x – 3 = 0
4). 4x2 + 2x – 8 = 0
5). X2 + 5x + 6 = 0
Tema XVII: Calcula el determinante de.
∆ = b2 – 4ac
1). X – 14x + 49 = 0
2). 3x + 12x + 10 = 0
3). 6x + 15x – 10 = 0
4). 5x + 18x + 20 = 0
5). 2x + 3x – 12 = 0
Tema XVIII: Resuelve las siguientes ecuaciones cuadráticas por el método de factorización.
1. x2 + 3x – 18 = 0
2. x2 – 5x + 6 = 0
3. x2 + x – 20 = 0
4. x2 + 18x + 80 = 0
5. x2 + 6x + 9 = 0
Bibliografía
Matemática básica de peña Geraldina pag 85-96
Báez Taveras II de reyita pag 52-63
programa de asignatura periodismo popular alternativo enviado por Brunilda Romero
UNIVERSIDAD AUTONOMA DE SANTO DOMINGO
FACULTAD DE HUMANIDADES
ESCUELA DE COMUNICACIÓN SOCIAL
PROGRAMA DE COMUNICACIÓN POPULAR ALTENATIVO
Licda: Brunilda Romero Moreno
Objetivo General:
Examinar el punto de partida de la comunicación popular alternativa, y su evolución con los blogs y las redes sociales desafíos y aportes a la construcción de una sociedad participativa mediante las nuevas tecnologías.
Unidades académicas:
El informe Mcbride y su impacto en las sociedades modernas.(aspectos históricos)
2. Posibilidades de la comunicación popular y alternativa mediante las nuevas tecnologías.
3. Los movimientos sociales, comunicación alternativa y las redes sociales.
4. El nacimiento de la comunicación popular y los blogs como medios alternativo.
5. La sociedad participativa, comunicación popular y las Tic.
6. Desarrollo de la radio popular comunitaria y su evolución en la Internet.
7. El vídeo popular comunitario. Su premisa y perspectivas tecnológicas.
Evaluación
No. | Talleres y examen final | Valor |
1 | El informe Mcbride. | 5 |
2 | La comunicación popular y alternativa mediante NTIC. | 10 |
3 | Los movimientos sociales y las redes sociales. | 10 |
4 | El nacimiento de la comunicación popular y los Blogs. | 15 |
5 | La sociedad participativa y las TIC. | 10 |
6 | La radio popular comunitaria evolución en Internet. | 10 |
7 | El vídeo popular comunitario. | 10 |
8 | Examen final | 30 |
Total | 100 |
FLUJOGRAMA
No. | Talleres y examen final | Enero | Febrero | Marzo | Abril | ||||||||||
26 | 2 | 9 | 16 | 23 | 2 | 9 | 16 | 23 | 30 | 6 | 13 | 20 | 27 | ||
1 | El informe Mcbride | ||||||||||||||
2 | La comunicación popular y alternativa | ||||||||||||||
3 | Los movimientos sociales y las redes sociales | ||||||||||||||
4 | Nacimiento de la comunicación Popular y los blogs | ||||||||||||||
5 | La sociedad participativa y las tic | ||||||||||||||
6 | La radio popular comunitaria | ||||||||||||||
7 | El vídeo popular comunitario | ||||||||||||||
7 | Examen final | ||||||||||||||
BIBLIOGRAFÍA
1. Díaz Bordenave. La Sociedad Participativa. Ediciones CIESPAL.
2. Encalada, Marcos A. Posibilidades de la Comunicación Alternativa. Ediciones CIESPAL.
3. Festa, Regina y Carlos Eduardo Lins Da Silva. Comunicación Popular y Alternativa. Ediciones Paulinas.
4. Jiménez Pérez, Rafael E. La Investigación y Comunicación Social: Confrontación Teórico-Metodológica. Editora Búho, República Dominicana.
5. Adopción y uso de tecnología de la información y la comunicación TIC en la Republica Dominicana.
6. Marques,Pere(2001)La evolución de la tecnología http:www.permarque.net/index.htm
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